当波场与物体相互作用时，场的相位和振幅会因各种样品特性（例如厚度或折射率分布）而发生变化。光学测量技术试图通过使用仅测量振幅变化的相机或其他探测器来确定这些波扰动。然而，在大多数应用中，需要准确估计波场的相位，因为它提供了有价值的信息。然而，这只能间接测量。在过去的几十年里，已经开发了许多技术来测量相位：常见的干涉测量法和全息技术 [1–4] 使用傅里叶相位解调 [2] 和时间相移 （TPS） 技术 [3] 来估计物波的相位，或者采用基于基尔霍夫-菲涅耳积分的重建 [1\u20124]。另一类相位测量技术是所谓的相位恢复 （PR） 技术，它从单个 [5] 或多个散焦图像中估计相位 [6–9]。
无论使用何种技术来测量波场，都可以正式描述强度 I、相位 φW 和复场之间的关系，如下所示
本来写了一大段废话，后面删了！ 也没啥东西，总是静不下心来，总喜欢到处倒腾点好玩的东西，每天不在学习，就是在搞其他的。
比如说今天重新搞了我自己的博客，虽然说基于别人的代码部署的，但是用着不爽，也改了好多代码，
当波场与物体相互作用时，场的相位和振幅会因各种样品特性（例如厚度或折射率分布）而发生变化。光学测量技术试图通过使用仅测量振幅变化的相机或其他探测器来确定这些波扰动。然而，在大多数应用中，需要准确估计波场的相位，因为它提供了有价值的信息。然而，这只能间接测量。在过去的几十年里，已经开发了许多技术来测量相位：常见的干涉测量法和全息技术 [1–4] 使用傅里叶相位解调 [2] 和时间相移 （TPS） 技术 [3] 来估计物波的相位，或者采用基于基尔霍夫-菲涅耳积分的重建 [1\u20124]。另一类相位测量技术是所谓的相位恢复 （PR） 技术，它从单个 [5] 或多个散焦图像中估计相位 [6–9]。
其中 r是 x,y 和 z 分别是横纵向向和轴向位置。方程（2）中计算的相位使用反正切运算，将相位值限制为区间 [−π， π]。因此，大于 2π 的恢复相位将包含人为跳跃。这个结果在文献中被称为包裹相位 [10,11]。为了获得实际的相位分布（称为绝对相位或未包裹的相位 φUW），需要采用相位展开算法 （PUA） [10–14]。PUA 试图增加或减去相应的在 φW 的每个像素处 2π 的倍数 m，以获得绝对相位为
因此，将 m 加减到 φW 的值将消除方程 （2） 产生的人为跳跃。PUA 的选择将决定在包裹相位图的每个像素处计算 m 的方式。例如，对于给定的包裹相位，我们可以比较沿任意路径的相邻像素处的相位值。当计算沿该路径的不连续性数量时，可以找到 m。然后，将 m 添加或减去相应的包裹相位值，从而校正相位跳跃 [15,16]。对于理想的包裹相位（无噪声和无残余）的情况，m 的值将相同，与所选路径无关（前提是路径的起点和终点始终相同）。然而，噪声的存在、包裹相位的下采样或涡流可能会破坏找到的 m 的唯一性。为了克服这个问题，在过去的三十年里，已经开发了大量用于展开相位的求解器[10–12,16–18]，目的是用更强大的系统来解开相位，以防止包装数据中的错误测量。如今，PUAs的应用包括磁共振成像[19]、化学位移映射[20]、合成孔径技术[21]、X射线成像[13]、电子[22]和微波断层扫描[23]。在光学计量学中，PUAs被用于获得全息技术[2,24–26]和结构光照明（SLI）系统[27]中的绝对相位。现代PUAs实现了更快、更可靠的相位重建。这对于实时应用和测量数百个包裹的相位图的情况（例如相位断层扫描[28]）尤其重要。
一般来说，可以将大多数众所周知的 PUA 分为两类：第一类是使用一系列具有时空变化的测量来展开相位的方法，第二类是直接展开二维相位图的方法。在第一类中，以不同的灵敏度获取多个相位图，然后根据该数据计算绝对相位图 [15]。从历史上看，这种方法已应用于多波长干涉测量 [29]、多波长全息术 [30] 和 SLI 系统 [27] 中的各种问题，用于绝对相位测量。时间 PUA 的一个优点是，相位展开仅使用数据的时间变化，因此不依赖于相邻像素中的信息。值得注意的是，该程序可以避免由于包裹相位中的缺陷而导致沿正交空间坐标的相位传播误差 [15]。因此，对于单点传感器 [29] 或相机的单个像素 [27]，相位展开程序是相同的。然而，所有这些技术都需要额外的相位图或使用具有特定强度模式的额外测量框架来展开二维相位图 [15,31]。
第二类 PUA 使用空间信息展开相位。这类算法的公认代表是路径跟踪方法，它们通过求解路径积分来恢复绝对相位图。在理想条件下，这些算法是有效的;然而，在存在噪声的情况下，无法保证展开相位的唯一性，因此，展开过程取决于所选路径 [11]。为了克服这个问题，已经开发了分支切割方法 [32,33]。分支切割方法定义了展开可能无法进行的路径，并消除了最后步骤中出现的不一致 [34]。
Goldstein 的分支切割算法 [32] 是第一个认识到不连续性出现在残基处的算法，即相梯度的闭路积分加起来不为零。质量导向路径算法 [35] 计算质量图以选择最高质量的像素，然后使用泛洪填充方法从该点展开相位图。不幸的是，这些算法并不可靠。其他众所周知的 PUA 通过最小化全局误差函数来展开相位。例如，Flynn 算法 [33] 是一种迭代 PUA，旨在找到不连续性的全局最小加权和。其他例子是那些通过最小二乘相位法获得展开相位的技术，该方法通过泊松方程 [17,36,37] 将测量相位和绝对相位的梯度联系起来。在第二种分类中，也可以包括通过使用确定性关系[14,38–41]来展开相位的PUA。例如，最近提出的基于强度传输方程（TIE）的相位展开技术[38,40]。基于TIE的方法直接从强度信息中获得绝对相位图。从TIE中恢复相位图的常规方法需要减去放置在具有小位移的对称平面上的两个散焦强度，这称为强度的轴向导数[7,8]，然后将该结果用作泊松方程的输入。TIE展开方法易于实现[38,40]，路径无关，比路径跟踪方法更快，并且其解决方案是独一无二的[42]。然而，已知的基于TIE的PUA [38,40]的计算效率不高，并且在高相位梯度区域会产生很大的误差。
在这项工作中，我们将为基于 TIE 的 PUA 实施基于傅里叶的精确解决方案，从而显著提高传统基于 TIE 的 PUA 的速度和准确性。开发的方法直接从包裹的相位数据中计算强度的轴向导数。这是可能的，因为我们已经推导出了菲涅耳近似和强度的轴导数之间的解析关系。因此，我们基于 TIE 的 PUA 不需要像其他基于 TIE 的 PUA 那样需要波传播技术或有限差分方法 [38\u201240]。轴向导数的新计算允许准确估计展开的相位图，而不受信号的频率采样的影响，并且大大缩短了计算时间。此外，我们建议使用半迭代过程，以便为相位展开提供一个健壮而精确的求解器。本文的结构如下：在第 2 节中，描述了 TIE 的原理及其实验挑战。在第 3 节中，我们基于 TIE 的 PUA 是完全使用迭代算法开发的。第 4 节和第 5 节分别包含为验证基于 TIE 的 PUA 算法而进行的数值模拟和实验。在第 6 节中，提出了这项工作的相应结论。
在相位成像或结构检索是一个问题的许多领域中，如光学测试、生物医学成像和材料科学，相位恢复一直是一个相当有趣的主题[1–3]。在过去的几十年里，人们开发了各种干涉测量技术来获得全场、定量和绝对相位成像 [2,4]。在这些技术中，数字全息术已成为相位成像的领跑者，因为它能够从单个全息图同时重建幅度-对比度和相位-对比度图像[5,6]。与傅里叶相位或希尔伯特相位显微镜不同，数字全息术不需要在数字探测器（CCD 或 CMOS 相机）上记录样品的聚焦图像，因为可以通过数值波前传播实现数值聚焦。对于离轴全息图，物波在空间上与零阶非衍射波和共轭物波分开。因此，可以通过傅里叶域中的空间滤波来描绘全息图平面上物体的振幅和相位信息 [7]。然后将过滤后的全息图乘以数字参考（通常是平面波），并将生成的波场传播到图像平面，以确定物体的焦点内振幅和相位。然而，相位像差（包括由于离轴几何形状引起的倾斜）和显微镜物镜引起的相位曲率会叠加在物相上。为了准确恢复仅由物体引起的相位信息，通常会执行耗时且乏味的物理或数字补偿程序[8–12]。阻碍这种相位测量技术和其他相位测量技术的另一个主要障碍是，恢复相位在数学上被限制在区间 ð π;π ，对应于 arctangent 函数的主值。因此，在从给定相图重建物理量之前，必须进行相展开。文献中已经报道了几种相位展开算法来克服这一困难 [13\u201215]。然而，在存在噪声、快速相位变化和相位残差的情况下，它们中只有少数足以满足实际应用需求。有时，不仅从局部区域的展开存在缺陷，而且相位误差也经常向外传播到图像的其余部分。此外，大多数现有的相位展开算法都是计算密集型的，因此难以实时实现。
强度传输方程 （TIE） [16] 作为一种非干涉测量的单光束相位恢复方法，在定量相位成像中越来越受到关注和应用 [17\u201220]。TIE 的一大优点是它只需要在垂直于传播方向的两个紧密间隔的平面上对光波进行至少两次强度测量，即可直接重建。
波的连续相位，无需相位展开 [18\u201221]。利用这一吸引人的特点，在本文中，我们提出了一种新的快速相位解调算法，用于数字全息术中的确定性连续相位检索，该算法基于从全息图数值重建过程中获得的归一化波场中求解 TIE。这种方法允许直接恢复以数字全息技术编码的连续相位信息，从而避免了相位展开问题。由于只需要一个全息图，因此它也有助于动态成像。此外，我们的方法提供了一种新方法来消除数字全息术中固有的倾斜和二次相位像差，而无需繁琐的物理或数字补偿程序。由于该方法采用快速傅里叶变换 （FFT），因此简单且计算效率高。进行了两次实验以验证该方法的有效性。
2. 数字全息术和强度传输相位检索的基本原理
在数字全息术的透射和反射设置中，相干激光束分为两部分——参考光束直接照亮成像设备。物光束穿过样品或从样品反射，并在 CCD 平面上以小角度干涉参考光束，以产生离轴全息图。相机记录的强度分布可以简单地写成
R（x;y） 和 O（x;y） 分别是参考波和物波，表示复共轭。该全息图由数码相机采样，然后作为数字数组传输到计算机中。过滤全息图的二维傅里叶光谱可以消除不需要的零级和孪生图像项 [7,22]。然后使用菲涅耳变换、卷积或角度光谱方法从全息图平面以数字方式传播衍射场，包括图像平面的振幅和相位分布。然而，相位像差，包括由于离轴几何形状和显微镜物镜引起的相位曲率引起的倾斜，叠加在物体相位上，因此重建的相位图可以表示为 [5,8,11]
其中 φ（x;y） 是物体引入的相位延迟。因子 kx， ky 表示由于设置的离轴几何形状，物体和参考光束之间的线性相位差。参数 lr 描述了由于球面相位曲率的不匹配而导致的物体和参考光束之间的相对散度。相位像差必须通过某种物理或数值方法 [9–12] 进行补偿，以便仅准确恢复由物体引起的相位信息。一旦在像平面上计算了复场，就可以确定物体相位，即复振幅的虚部和实部之比的反正切。然而，对于光学深度大于波长的物体，相位映射是模糊的，因为绝对相位包裹在 2π 的间隔内，因为反正切函数返回以 2π 为模的角度值，而不是其绝对值。因此，必须应用相位展开程序，以恢复在大于 2π 的范围内延伸的连续相位分布。
TIE 仅使用多个轴向位移平面的物场强度，而不会与单独的参考光束产生任何干扰。TIE 的实验配置通常涉及 4f 成像系统。通过平移相机或物体，可以获得。 TIE 根据近菲涅耳区域强度的一阶导数确定物平面相位 [16，
其中 I 是聚焦强度，k 是波数 2π/λ，r 是空间坐标为 x 的位置矢量;y.∇ 是相对于 r 的梯度算子。z 表示波的传播方向，垂直于 x y 平面。方程（3）表明，波的横向相位可以从沿传播方向的强度导数中推导出来。使用这个方程，即使相位在 2π 的许多倍上变化，也可以在不展开相位的情况下唯一地恢复相位分布 [18,21]。
使用 TIE 在数字全息技术中进行直接连续相位解调
需要注意的是，对于 TIE 相位恢复，连续相位可以通过求解偏微分方程（方程（3））来唯一确定，只需强度分布及其关于 z 的导数。虽然强度导数不能直接测量，但可以通过两个紧密分离的图像之间的有限差来估计。在不考虑噪声影响的情况下，两个平面之间的较小间隔会产生更准确的相位导数近似值 [19,20]。传统上，要获取两个略微散焦的图像，相机或物体必须进行机械平移，这不可避免地使数据采集过程复杂化并减慢采集速度。数值聚焦是数字全息术的一种独特功能，其中单个全息图用于计算任意数量的图像平面的光场，模拟传统成像系统的聚焦控制。这激励我们正确地结合这两种技术，以便获得两种方法的优点。
最直接的想法是通过数字全息术将恢复的场以数值方式传播到图像平面上非常接近的两个距离，从而产生两个强度图像，略微散焦。这两个图像用于近似强度导数，并在TIE算法中用于检索相位。角谱法[7,11,23]是实现此目的的首选方法，因为它保持了像素大小，对重建平面没有最小距离要求，并且在傅里叶域中进行过滤时灵活有效。重建的波场Uz(x;y) 距离全息图平面 U0（x，y) 的波场距离 z; 可以写成 [7,11,23]
其中 H（f x;f y） 是空间频域中的角谱光传递函数，表示为
其中 f x 和 f y 是 x 和 y 方向的空间频率。F 和 F 1 分别是傅里叶变换和逆傅里叶变换。因此，可以用较小的散焦距离 Δz 在聚焦平面和散焦平面上以数值重建强度图像。然后，这些重建的强度图像可以在 TIE 公式（方程 （3））中使用，以确定没有 2π 不连续性的绝对相位。
虽然这种方法基于一个可靠的理论并且看起来很简单，但它并不是实际实现的好选择。TIE 是相位函数 φ 的椭圆偏微分方程，为了通过快速数值方法（如 FFT）求解逆拉普拉斯算∇ψ，必须使用满足 1⁄4 I 的辅助函数 ψ ，∇φ 将 TIE 转换为以下两个泊松方程.
[17] 中提出了一种时间相位解缠方法。这种方法背后的基本思想是，每个像素的相位都是作为时间的函数来测量的。然后，每个像素的时间轴上独立于其他像素执行相位展开。因此，信噪比较差的边界和区域不会对良好的数据点产生不利影响。该方法适用于干涉测量应用的子类，其中对随时间发生的相位变化（而不是绝对相位值）感兴趣，并且可以获得一系列增量相位图，从而获得最终感兴趣的相位差图。最近，还提出了一种基于全变分去噪的相位解缠算法，该算法基于解缠相的梯度 [18]。已经提出了一种基于金字塔传感器的方法来测量相位梯度，然后使用最小二乘解来确定展开的相位 [19]。已采用一种基于 Green 公式的方法从数值重建的相图中恢复未包裹的相 [20]。在这里，我们描述了一些选定的相位展开方法，尽管文献中也存在其他几种技术[21–27]。
上述许多算法都是计算密集型的 [7,9]。通常，对于常规干涉测量或数字全息显微镜任务，通常需要一种简单快速的相位解缠解决方案，以便解缠任务的执行时间与相图确定步骤相当或更短。在本文中，我们提出了一种基于强度传输方程 （TIE） 的快速准确的相位展开方法。在 TIE 中，相图是通过求解偏微分方程获得的，而不是作为复数的参数获得的。由于偏微分方程解的连续性要求，相解自然以展开形式获得。虽然 TIE 解决方案的这一特性是已知的，但据我们所知，这种方法尚未用于解开在干涉成像应用中获得的相图。给定来自干涉测量/数字全息实验的包裹相图，我们将相应的复场数值传播到感兴趣平面两侧的小距离。然后，场的纵向强度导数作为 TIE 的输入，并获得解开的相图作为解。整个作可以使用 FFT 算法实现，因此可以在路径依赖方法所需时间的一小部分内完成。
本文大纲如下。在第 2 节中，我们简要回顾了强度相解的传递，然后在第 3 节中，我们讨论了如何利用 TIE 相解来解决相位展开问题。数值模拟和该方法在实验数据中的应用分别显示在第 4 节和第 5 节中。我们相信这里描述的方法简单明了。
2. 强度传输方程 非干涉相位测量的一个特别有趣的概念是基于 TIE。对于菲涅耳区的衍射场，可以证明纵向的强度导数与横向上波的强度和相位梯度有关[28]。如图 1 所示，TIE 可用于平面 z 0 的波前重建，使用通过将阵列探测器纵向移动到平面 z Δz 来测量的光波强度 [29\u201231]。这种方法的优点之一是，它通过求解涉及横向相位梯度的偏微分方程[32]，直接重建了展开的相位剖面。的相干波前的标量分量名义上沿 z 方向传播的波长 λ 可以表示为
图 1.使用基于 TIE 的方法进行的典型波前相位重建图示。箭头表示波传播的标称方向，u( x yz)表示; 表示相应 z 平面中的标量场。
这里我 x;y;z 是强度，φ (x;y;z) 是波前的相位。描述该光波前的自由空间传播的近轴微分方程与菲涅耳衍射一致，由下式给出 [28]